PrimeSieve 素数筛法

问题

素数（质数）是除了$1$和它自身没有其他数能够整除的正整数，最小的素数是$2$。而不符合该特性的正整数是合数，常见的素数有

$$2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23 \dots$$

素数是数论学科中的基础概念，关于素数的最为著名的问题就是哥德巴赫猜想。判断$[2 \dots n-1]$中哪些是素数，哪些是合数。

简单筛法

按照素数的定义，判断一个正整数$n$是否为素数，需要满足$[1, n]$范围内的所有正整数除了$1, n$没有其他能够被$n$整除的整数。

即遍历$[2, n-1]$所有数字$i$，判断其是否能被$n$整除（$n /$）即可。

用该算法判断一个正整数是否为素数的时间复杂度为$O(n)$，判断范围$[2, n-1]$内的整数是否为素数的时间复杂度为$O(n^2)$。

埃拉托斯特尼筛法/埃氏筛法（Sieve of Eratosthenes）

埃式筛法设置数组$s = [2 \dots n-1]$，$s[i]$是一个布尔值，表示数字$i$是否为素数。

$(1)$ 以$2$为筛子，除了$2$本身所有$2$的倍数都不是素数，即$s[2] = true, s[2 \times 2] = false, s[2 \times 3] = false, \dots$；

$(2)$ 以$3$为筛子，除了$3$本身所有$3$的倍数都不是素数，即$s[3] = true, s[3 \times 2] = false, s[3 \times 3] = false, \dots$；

$(3)$ 以$5$为筛子，除了$5$本身所有$5$的倍数都不是素数，即$s[5] = true, s[5 \times 2] = false, s[5 \times 3] = false, \dots$；

$$\cdots$$

称这样作为遍历起点的数字为筛子。

对筛法进行两点优化：

$(1)$ 若$x$不是素数，那么存在$a \times b = x$，显然$a, b$不能同时大于$\sqrt{x}$。因此筛子只需要选择$[2, \lfloor \sqrt{n-1} \rfloor ]$，即可判断$[2, n-1]$范围内的所有数字是否为素数。

$(2)$ 筛子$x$遍历倍数时$[2 \cdot x, 3 \cdot x, \dots, x \cdot x, \dots, n-1]$，其中之前的筛子$2$已经筛选了$2 \cdot x$，筛子$3$已经筛选了$3 \cdot x$，$\dots$，筛子$x - 1$已经筛选了$(x-1) \cdot x$。可以跳过这部分来节省时间。因此那么对于筛子$x$只需要遍历$[x^2, x^2 + x, \dots, n-1]$这部分即可。

由于存在某些素数被重复筛选，埃氏筛法的时间复杂度为$O(n \cdot log_2 (log_2 n))$（证明略）。

素数筛法

• http://101.96.10.63/research.cs.wisc.edu/techreports/1990/TR909.pdf
• https://www.cs.utexas.edu/users/misra/scannedPdf.dir/linearSieve.pdf

源码

PrimeSieve.h

PrimeSieve.cpp

测试

PrimeSieveTest.cpp