GaussElimination 高斯消元法

问题

用高斯消元法（Gauss Elimination）求拥有唯一解的线性方程组。

可逆矩阵

对于 $n$ 阶方阵 $A$ ，存在 $n$ 阶方阵 $B$ 使得

AB = BA = E

其中 $E$ 是单位矩阵，称 $A$ 是可逆矩阵或非奇异矩阵（反之不存在的矩阵为不可逆矩阵或奇异矩阵）， $B$ 是 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{-1} = B$ 。

初等变换

对于矩阵 $A$

$(1)$ 用非零常数 $k$ （ $k \neq 0$ ）乘 $A$ 的某行/列的每个元素；

$(2)$ 互换 $A$ 的某两行/列；

$(3)$ 将 $A$ 的某行/列元素的 $k$ 倍加到另一行/列；

上面三种操作是矩阵的三种初等变换，分别称为初等倍乘、初等互换、初等倍加行/列变换。

由单元矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，分别是

$(1)$ 倍乘初等矩阵，如

E_{2} (k) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

其中 $E_{2} (k)$ 表示单位矩阵 $E$ 的第 $2$ 行/列乘 $k$ （ $k \neq 0$ ）倍得到的矩阵。

$(2)$ 互换初等矩阵，如

E_{12} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

其中 $E_{12}$ 表示单位矩阵 $E$ 的第 $1$ 行与第 $2$ 行（或第 $1$ 列与第 $2$ 列）互换得到的矩阵。

$(3)$ 倍加初等矩阵，如

E_{31} (k) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

其中 $E_{31} (k)$ 表示单位矩阵 $E$ 的第 $1$ 行/列的 $k$ 倍加到第 $3$ 行/列得到的矩阵。

若矩阵 $A$ 经过有限次初等变化变成矩阵 $B$ ，则称 $A$ 和 $B$ 等价，记作 $A \cong B$ 。若 $A \cong \begin{bmatrix} E_{r} & O \\ O & O \end{bmatrix}$ ，则称后者为 $A$ 的等价标准形。

矩阵的秩

若 $n$ 行 $m$ 列的矩阵 $A_{nm}$ 中存在 $r$ 阶子式不等于 $0$ ，且所有 $r + 1$ 阶子式（存在的话）都等于 $0$ ，则称矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，记作 $r(A)$ 。特别的，零矩阵的秩规定为 $0$ 。其中，在矩阵 $A_{nm}$ 中任取 $k$ 行与 $k$ 列（ $k \leq m, k \leq n$ ）组成的 $k$ 阶行列式为 $A_{nm}$ 的一个 $k$ 阶子式。

线性方程组

\begin{cases} a_{11} \times x_1 + a_{12} \times x_2 + \dots + a_{1m} \times x_m = b_1 \\ a_{21} \times x_1 + a_{22} \times x_2 + \dots + a_{2m} \times x_m = b_2 \\ \cdots \\ a_{n1} \times x_1 + a_{n2} \times x_2 + \dots + a_{nm} \times x_m = b_n \end{cases}

可以表示为 $n$ 行 $m$ 列的矩阵 $A$ ，第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $a_{ij}$ 。设 $X = [x_1, x_2, \dots, x_m ]$ 是线性方程组的解， $B = [b_1, b_2, \dots, b_n]$ 是线性方程的右边一列系数向量。一般简写作 $A \cdot X = B$ 。