PushRelabel 压入与重标记算法

问题

用压入与重标记算法求网络 $G = <V,E>$ 的最大流， $G$ 是单源点、单汇点，边的容量都为正整数的网络。

设网络中每个节点都有一个水位高度 $level$ ，当 $c_f(i,j) = c(i,j) - f(i,j) \gt 0$ 时边 $e_{i,j}$ 仍然可以容纳更多的流，当 $c_f(i,j) = 0$ 时称边 $e_{i,j}$ 为饱和边，不能容纳更多的流。

设节点 $v_i$ （ $v_i \in V \backslash \{s, t\}$ ）的流入和流出之差为：

x(i) = inflow_{i} - outflow_{i} = \sum_{u \in V} f(u, i) - \sum_{v \in V} f(i, v)

若相邻节点 $v_i, v_j$ 满足 $c_f(i,j) \gt 0$ ，称 $v_i, v_j$ 之间可以容纳额外的流。

压入操作条件：

$(1)$ 相邻节点 $v_i, v_j$ 的水位满足 $level(i) = level(j) + 1$ （称 $v_j$ 在 $v_i$ 的低位， $v_i$ 在 $v_j$ 的高位）；

$(2)$ 相邻节点 $v_i, v_j$ 的边的剩余容量满足 $c_f(i,j) \gt 0$ ；

压入操作：像高处的水流向最低洼的位置，对于满足压入操作条件的相邻节点，由节点 $v_i$ 流向节点 $v_j$ ，边 $e_{i,j}$ 的剩余容量更新为：

\begin{cases} f(i,j) = f(i,j) + \Delta \\ f(j,i) = f(j,i) - \Delta \\ x(i) = x(i) + \Delta \\ x(j) = x(j) - \Delta \end{cases}

其中 $\Delta = min(x(i), c_f(i,j))$ 。任意节点 $v_i$ 能够流出的最大值为 $x(i)$ （不能凭空制造流，每个节点必须有流入才能流出），而边 $e_{i,j}$ 能够额外容纳的流为 $c_f(i,j)$ ，因此实际可用的流是两者的最小值。

网络中将源点视作入流无穷大的节点，即有

\begin{matrix} inflow_{s} = + \infty \\ x(s) = + \infty \end{matrix}

将汇点视作出流无穷大的节点，即有

outflow_{t} = - \infty \\ x(t) = - \infty

重标记操作是调整相邻节点之间的水位高度差的辅助操作，目的是尽可能将更多的流压入汇点。

重标记操作条件：

$(1)$ 节点 $v_i$ 的流入和流出之差满足 $x(i) \gt 0$ ，说明该节点仍然能够制造出流；

$(2)$ 节点 $v_i$ 存在可以容纳额外的流的邻节点 $v_j$ （即 $c_f(i,j) \gt 0$ ），且水位高度之差满足 $level(i) \leq level(j)$ ；

重标记操作：

level(i) = min \{ level(j) \} + 1

其中 $v_j$ 是所有满足重标记条件的 $v_i$ 的邻节点，将 $v_i$ 的水位设置为所有节点中最低的水位加 $1$ 。

初始时设网络中任意两点间的流为 $0$ ，即 $f(i,j) = f(j,i) = 0$ （其中 $v_i ,v_j$ 为相邻节点），可知任意节点 $v_i$ 的流入流出差为：

x(i) = \begin{cases} + \infty & v_i = s \\ - \infty & v_i = t \\ 0 & v_i \in V \backslash \{s, t\} \end{cases}

对源点 $s$ 进行预压入操作（无视水位）：

x(i) = f(s, i) = c(s, i)

其中 $v_i$ 是所有与源点 $s$ 相邻，且满足剩余容量 $c_f(s,i) \gt 0$ 的邻节点。

然后设置网络中节点的水位：

level(i) = \begin{cases} \lvert V \rvert & v_i = s \\ 0 & v_i \in V \backslash \{ s \} \end{cases}

遍历网络找到满足压入操作、重标记操作的相邻节点和边，并进行对应操作。重复这两种操作直到无法继续，算法结束。网络的最大流即为汇点 $t$ 的邻节点的出流之和：

flow_{max} = \sum_{u \in V} f(u, t)

该算法的时间复杂度为 $O(\lvert V \rvert ^2 \cdot \lvert E \rvert)$ 。

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