Cross 向量叉积

向量

向量v⃗=[x,y,z]\vec{v} = [x, y, z]表示三维空间中一个有长度的方向，单位长度为11。

也写作：

v⃗=x×i⃗+y×j⃗+z×k⃗\vec{v} = x \times \vec{i} + y \times \vec{j} + z \times \vec{k}

其中i⃗,j⃗,k⃗\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}是x,y,zx, y, z三个轴上的单位向量，平面中的向量可以视为zz轴长度为00的三维空间中一种特殊的向量，一般写作：

v⃗=x×i⃗+y×j⃗\vec{v} = x \times \vec{i} + y \times \vec{j}

点积

向量的点积计算方式如下：

v1⃗⋅v2⃗=x1×x2+y1×y2+z1×z2\vec{v_{1}} \cdot \vec{v_{2}} = x_{1} \times x_{2} + y_{1} \times y_{2} + z_{1} \times z_{2}

两个向量的点积结果是一个数字。

叉积

向量的叉积计算方式如下：

v1⃗×v2⃗=∣i⃗j⃗k⃗x1y1z1x2y2z2∣\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{vmatrix}

叉积的结果是一个向量，此向量遵循右手法则，将右手四指卷起大拇指伸出。从v1⃗\vec{v_{1}}沿着四根卷起的手指指向v2⃗\vec{v_{2}}，叉积结果向量与大拇指方向相同，与v1⃗\vec{v_{1}}和v2⃗\vec{v_{2}}所在平面垂直。

也可以写作：

v1⃗×v2⃗=n⃗∣v1⃗∣⋅∣v2⃗∣sinθ\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} = \vec{n} \lvert \vec{v_{1}} \rvert \cdot \lvert \vec{v_{2}} \rvert sin \theta

其中n⃗\vec{n}即为右手法则中大拇指的方向向量，长度为11，θ\theta为从v1⃗\vec{v_{1}}转向v2⃗\vec{v_{2}}的转角（0∘≤θ≤180∘0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}）。

行列式计算公式

二阶行列式：

∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - b \cdot c

三阶行列式：

∣abcdefghi∣=a⋅e⋅i+b⋅f⋅g+c⋅d⋅h−c⋅e⋅g−a⋅f⋅h−b⋅d⋅i\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a \cdot e \cdot i + b \cdot f \cdot g + c \cdot d \cdot h - c \cdot e \cdot g - a \cdot f \cdot h - b \cdot d \cdot i

根据上式可知，三维空间中向量叉积为：

v1⃗×v2⃗=(y1⋅z2−y2⋅z1)⋅i⃗−(x1⋅z2−x2⋅z1)⋅j⃗+(x1⋅y2−x2⋅y1)⋅k⃗\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} = (y_{1} \cdot z_{2} - y_{2} \cdot z_{1}) \cdot \vec{i} - (x_{1} \cdot z_{2} - x_{2} \cdot z_{1}) \cdot \vec{j} + (x_{1} \cdot y_{2} - x_{2} \cdot y_{1}) \cdot \vec{k}

二维平面中向量叉积为：

v1⃗×v2⃗=(x1⋅y2−x2y1)⋅k⃗\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} = (x_{1} \cdot y_{2} - x_{2} y_{1}) \cdot \vec{k}

向量夹角

计算两个向量v1⃗\vec{v_{1}}和v2⃗\vec{v_{2}}的夹角时，我们一般将它们看作其共同的垂直方向向量长度为00，叉积C=v1⃗×v2⃗=x1⋅y2−x2⋅y1C = \vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} = x_{1} \cdot y_{2} - x_{2} \cdot y_{1}的结果。

(1)(1) 若C>0C \gt 0则v2⃗\vec{v_{2}}在v1⃗\vec{v_{1}}的逆时针方向（按右手螺旋法则从v1⃗\vec{v_{1}}旋转到v2⃗\vec{v_{2}}时，大拇指与单位向量k⃗\vec{k}方向相同）；

(2)(2) 若C<0C \lt 0则v2⃗\vec{v_{2}}在v1⃗\vec{v_{1}}的顺时针方向（按右手螺旋法则从v1⃗\vec{v_{1}}旋转到v2⃗\vec{v_{2}}时，大拇指与单位向量k⃗\vec{k}方向相反）；

(3)(3) 若C=0C = 0则v1⃗\vec{v_{1}}与v2⃗\vec{v_{2}}共线，这属于边界情况；

需要注意叉积的正负值与向量间顺时针逆时针的关系，很容易搞混。

计算向量叉积的时间复杂度为O(1)O(1)。

数学复习全书（李永乐李正元考研数学 数学一）

源码

Cross.h

Cross.cpp

测试

CrossTest.cpp

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