Cross 向量叉积

向量

向量$\vec{v} = [x, y, z]$表示三维空间中一个有长度的方向，单位长度为$1$。

Cross1.png

也写作：

$$\vec{v} = x \times \vec{i} + y \times \vec{j} + z \times \vec{k}$$

其中$\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$是$x, y, z$三个轴上的单位向量，平面中的向量可以视为$z$轴长度为$0$的三维空间中一种特殊的向量，一般写作：

$$\vec{v} = x \times \vec{i} + y \times \vec{j}$$

点积

向量的点积计算方式如下：

$$\vec{v_{1}} \cdot \vec{v_{2}} = x_{1} \times x_{2} + y_{1} \times y_{2} + z_{1} \times z_{2}$$

两个向量的点积结果是一个数字。

叉积

向量的叉积计算方式如下：

$$\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{vmatrix}$$

叉积的结果是一个向量，此向量遵循右手法则，将右手四指卷起大拇指伸出。从$\vec{v_{1}}$沿着四根卷起的手指指向$\vec{v_{2}}$，叉积结果向量与大拇指方向相同，与$\vec{v_{1}}$和$\vec{v_{2}}$所在平面垂直。

也可以写作：

$$\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} = \vec{n} \lvert \vec{v_{1}} \rvert \cdot \lvert \vec{v_{2}} \rvert sin \theta$$

其中$\vec{n}$即为右手法则中大拇指的方向向量，长度为$1$，$\theta$为从$\vec{v_{1}}$转向$\vec{v_{2}}$的转角（$0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$）。

行列式计算公式

二阶行列式：

$$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - b \cdot c$$

三阶行列式：

$$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a \cdot e \cdot i + b \cdot f \cdot g + c \cdot d \cdot h - c \cdot e \cdot g - a \cdot f \cdot h - b \cdot d \cdot i$$

根据上式可知，三维空间中向量叉积为：

$$\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} = (y_{1} \cdot z_{2} - y_{2} \cdot z_{1}) \cdot \vec{i} - (x_{1} \cdot z_{2} - x_{2} \cdot z_{1}) \cdot \vec{j} + (x_{1} \cdot y_{2} - x_{2} \cdot y_{1}) \cdot \vec{k}$$

二维平面中向量叉积为：

$$\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} = (x_{1} \cdot y_{2} - x_{2} y_{1}) \cdot \vec{k}$$

向量夹角

计算两个向量$\vec{v_{1}}$和$\vec{v_{2}}$的夹角时，我们一般将它们看作其共同的垂直方向向量长度为$0$，叉积$C = \vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} = x_{1} \cdot y_{2} - x_{2} \cdot y_{1}$的结果。

$(1)$ 若$C \gt 0$则$\vec{v_{2}}$在$\vec{v_{1}}$的逆时针方向（按右手螺旋法则从$\vec{v_{1}}$旋转到$\vec{v_{2}}$时，大拇指与单位向量$\vec{k}$方向相同）；

Cross2.png

$(2)$ 若$C \lt 0$则$\vec{v_{2}}$在$\vec{v_{1}}$的顺时针方向（按右手螺旋法则从$\vec{v_{1}}$旋转到$\vec{v_{2}}$时，大拇指与单位向量$\vec{k}$方向相反）；

Cross3.png

$(3)$ 若$C = 0$则$\vec{v_{1}}$与$\vec{v_{2}}$共线，这属于边界情况；

需要注意叉积的正负值与向量间顺时针逆时针的关系，很容易搞混。

计算向量叉积的时间复杂度为$O(1)$。

数学复习全书（李永乐李正元考研数学 数学一）

• https://book.douban.com/subject/21370697/

源码

Cross.h

Cross.cpp

测试

CrossTest.cpp