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跳跃表

跳跃表是一种随机化链表数据结构，其添加、删除、查找的时间复杂度与平衡树/二叉查找树的时间复杂度相同 $O(log_2 n)$ 。相比平衡树，跳跃表的实现方式更简单，实际应用中对并发的支持更好（内部多条链表可以分别由不同线程操作），但占更多内存。

跳跃表的每个节点可以包含多个指针，因为它们可以参与多个内部链表。下图是一个典型的跳跃表：

查找

在跳跃表中查找元素 $x$ ，要从最高层链表向下到最低层链表，更高一层链表充当了下一层链表的快速跑到。

从第一个节点的最高层链表 $high$ 开始，向右移动找到第一个节点 $e$ 满足 $e \geq x$ 或 $e = NIL$ 。若 $e = x$ 则查找结束；若 $e \gt x$ 或 $e = NIL$ 则退回上一个查找位置，然后移动到下一层链表，再递归的继续向右移动找到第一个满足 $e' \geq x$ 或 $e' = NIL$ 的节点。若直到最低层链表仍无法找到元素 $x$ 则说明该跳跃表中不存在该元素。

以上图中的跳跃表为例，查询元素 $6$ 的过程如下图所示：

查询过程中，在 $h_{1}$ 链表中经历了节点 $[1]$ ，在 $h_{2}$ 链表中经历了节点 $[1, 4]$ ，在 $h_{3}$ 链表中经历了节点 $[4]$ ，在 $h_{4}$ 链表中经历了节点 $[4, 6]$ 最终找到元素 $6$ 。

查询元素 $9$ 的过程如下图所示：

查询过程中，在 $h_{1}$ 链表中经历了节点 $[1]$ ，在 $h_{2}$ 链表中经历了节点 $[1, 4, 7]$ ，在 $h_{3}$ 链表中经历了节点 $[7]$ ，在 $h_{4}$ 链表中经历了节点 $[7, 8]$ 最终无法找到元素 $9$ 。

插入

在跳跃表中插入元素 $x$ ，与查找操作基本一致，也是从最高层链表向下到最低层链表（最终节点一定要在最低层的原始链表中插入），找到合适的位置后插入新节点 $x$ 。最低层链表插入节点后，高层链表的节点数量不足导致时间复杂度退化。

跳跃表通过随机数来做一个“抛硬币”的操作，决定新节点 $x$ 是否应该提升到上一层链表中。若结果为“是”则一直将新节点 $x$ 提升，若结果为“否”则结束本次插入操作。一般将抛硬币得到“是”的概率设置为 $p = \frac{1}{2}$ （或 $p = \frac{1}{4}$ ）。对于包含 $n$ 个节点，概率为 $p = \frac{1}{2}$ 的跳跃表，链表的高度为