ChineseRemainerTheorem 中国剩余定理

问题

对于非负整数$x$，给定$n$组正整数的除数$a_{i}$和余数$m_{i}$（$0 \leq i \lt n$）满足：

$$x \bmod a_{i} = m_{i}$$

其中所有余数$m_{i}, m_{j}$两两互质。设所有余数的乘积为：

$$M = m_{0} \times m_{1} \times \cdots \times m_{n-1} = \prod_{i=0}^{n-1} m_{i}$$

因为任意两个余数互质，显然$0 \leq x \lt M$。

这样的方程组即为数论中的一元线性同余方程组：

$$(S) = \begin{cases} x \equiv a_{0} \pmod{m_{0}} \\ x \equiv a_{1} \pmod{m_{1}} \\ \cdots \\ x \equiv a_{n-1} \pmod{m_{n-1}} \end{cases}$$

求$x$。

数论倒数/模倒数/模逆元

首先介绍数论倒数，三个整数满足：

$$a \times b \bmod m = 1$$

即：

$$a \times b \equiv 1 \pmod{m}$$

则称$b$是$a$关于$m$的数论倒数，也称模倒数、模逆元。显然$gcd(a, m)$即为$a$关于$m$的模逆元，可以通过Euclid求出。

中国剩余定理

用中国剩余定理求解一元线性同余方程组。设除了$m_{i}$之外所有余数的乘积为：

$$M_{i} = \frac{M}{m_{i}}$$

因为所有余数两两互质，因此存在$t_{i}$为$M_{i}$关于$m_{i}$的模逆元，即：

$$t_{i} \times M_{i} \equiv 1 \pmod{m_{i}}$$

可得方程组$(S)$的通解形式为：

$$x = a_{0} \cdot t_{0} \cdot M_{0} + a_{1} \cdot + t_{1} \cdot M_{1} + \cdots + a_{n-1} \cdot t_{n-1} \cdot M_{n-1} + k \times M = k \times M + \sum_{i=0}^{n-1} a_{i} \cdot t_{i} \cdot M_{i}$$

其中$k$为整数，$0 \leq i \lt n$。

对于$M$取模，则有唯一解：

$$x = \sum_{i=0}^{n-1} a_{i} \cdot t_{i} \cdot M_{i}$$

该算法的时间复杂度为$O(n)$。

源码

ChineseRemainerTheorem.h

ChineseRemainerTheorem.cpp

测试

ChineseRemainerTheoremTest.cpp