ChineseRemainerTheorem 中国剩余定理

问题

对于非负整数 $x$ ，给定 $n$ 组正整数的除数 $a_{i}$ 和余数 $m_{i}$ （ $0 \leq i \lt n$ ）满足：

x \bmod a_{i} = m_{i}

其中所有余数 $m_{i}, m_{j}$ 两两互质。设所有余数的乘积为：

M = m_{0} \times m_{1} \times \cdots \times m_{n-1} = \prod_{i=0}^{n-1} m_{i}

因为任意两个余数互质，显然 $0 \leq x \lt M$ 。

这样的方程组即为数论中的一元线性同余方程组：

(S) = \begin{cases} x \equiv a_{0} \pmod{m_{0}} \\ x \equiv a_{1} \pmod{m_{1}} \\ \cdots \\ x \equiv a_{n-1} \pmod{m_{n-1}} \end{cases}

求 $x$ 。

首先介绍数论倒数，三个整数满足：

a \times b \bmod m = 1

即：

a \times b \equiv 1 \pmod{m}

则称 $b$ 是 $a$ 关于 $m$ 的数论倒数，也称模倒数、模逆元。显然 $gcd(a, m)$ 即为 $a$ 关于 $m$ 的模逆元，可以通过Euclid求出。

用中国剩余定理求解一元线性同余方程组。设除了 $m_{i}$ 之外所有余数的乘积为：

M_{i} = \frac{M}{m_{i}}

因为所有余数两两互质，因此存在 $t_{i}$ 为 $M_{i}$ 关于 $m_{i}$ 的模逆元，即：

t_{i} \times M_{i} \equiv 1 \pmod{m_{i}}

可得方程组 $(S)$ 的通解形式为：

x = a_{0} \cdot t_{0} \cdot M_{0} + a_{1} \cdot + t_{1} \cdot M_{1} + \cdots + a_{n-1} \cdot t_{n-1} \cdot M_{n-1} + k \times M = k \times M + \sum_{i=0}^{n-1} a_{i} \cdot t_{i} \cdot M_{i}

其中 $k$ 为整数， $0 \leq i \lt n$ 。

对于 $M$ 取模，则有唯一解：

x = \sum_{i=0}^{n-1} a_{i} \cdot t_{i} \cdot M_{i}

该算法的时间复杂度为 $O(n)$ 。

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